Каустики на площині та в просторі

Каустики — це всюдисущі оптичні поверхні і криві, що виникають при відбитті і заломленні світла. Каустики можна описати як лінії або поверхні, вздовж яких концентруються світлові промені.

Каустики на площині (2D каустики)

Ріс. 1. Каустика при відбитті від кола. Зображення: «Квант»

Спочатку подивимося, що відбувається, коли всі світлові промені і крива, від якої вони відбиваються, лежать в одній площині. Найважливіший приклад — це відображення паралельних променів від кола. Каустика, що виникає тут, — яскрава лінія з вістрям, розташованим між вершиною і центром дзеркала (рис. 1).

Рис, 2. Зліва на дзеркало запущені 14 променів, праворуч — 102 промені, і відзначені точки їх попарного перетину. Зображення: «Квант»

Якщо ми маємо справу з параболою, то всі промені, паралельні її осі, після відображення збираються в одній точці — фокусі параболи. Для кола і для інших дзеркал це не так, відображені промені не сходяться в одній точці. Але коли на дзеркало падає вузький пучок паралельних променів, то після відображення він стає таким, що сходиться. Іншими словами, відображений пучок цілком не сходиться в одній точці, але вузькі пучки, що складаються з близьких променів, будуть схожими. Точки, в яких вони сходяться, це точки концентрації енергії, саме з них і складається каустика. Ці міркування дозволять нам намалювати каустику.

Запустимо на кругле дзеркало велику кількість паралельних променів. Розіб’ємо їх на пари і відзначимо точки перетину променів в кожній парі після відбиття (рис. 2). Якщо кількість променів збільшувати, відстані між точками попарного перетину зменшуватимуться. Точки будуть розташовуватися ближче один до одного і в межі заповнять каустичну криву.

Рис, 3. Кожен з відображених променів стосується каустики. Зображення: «Квант»

Це один спосіб зрозуміти, як влаштована каустика. Інший спосіб побачити каустику — це намалювати багато променів. На отриманому таким чином малюнку каустика виділяється як крива, якою стосуються всі відображені промені (рис. 3). Це просто інший прояв тієї ж самої концентрації світлової енергії — кожен світловий промінь стосується каустики, значить, проходить уздовж неї значну частину свого шляху і «віддає» їй більшу частину своєї енергії. Лінія, яка стосується кожної прямої з деякого сімейства прямих, є огинаючою цього сімейства. Так що каустика — це огинаюча світлових променів. Можна сказати, що каустика являє собою остів, на який нанизані всі світлові промені.

Як самим можна намалювати попередні картинки?

Добудуємо дзеркало до повного кола (рис. 4). Тоді з того, що «кут падіння дорівнює куті відображення», випливає, що хорди АВ і BA’, які висікаються падаючим і відображеним променями, рівні між собою. Так що потрібно за допомогою циркуля намалювати окружність з центром в точці В і радіусом АВ і відзначити її перетин з дзеркалом — точку А’, а потім по лінійці провести відображений промінь BA‘. Якщо для малювання використовується комп’ютер, тут потрібно знати, що горизонтальний (що йде паралельно осі абсцис) світловий промінь, відображений в точці одиничного кола (cos  , sin  ) з кутовою координатою  , спрямований уздовж вектора (-cos 2  , -sin 2  ). Це дозволяє намалювати всі відображені промені. А якщо ми ще хочемо дістатися від кола до каустики, то відстань, яку потрібно пройти вздовж цього вектора, дорівнює (cos   )/2. Таким чином, точки, що лежать на каустику, матимуть координати

Це добре відома крива (її описує фіксована точка кола, що котиться зовні по більшій в два рази кола), вона має власне ім’я — нефроїда.

Рис, 4. Хорди AB і BA’рівні, відображений промінь спрямований уздовж вектора (-cos  , sin 2  ). Зображення: «Квант»

Каустики в просторі (3D каустики)

Все набагато складніше і набагато цікавіше в тривимірному просторі. Там на кожному відображеному промені є дві точки концентрації енергії. У цьому сенсі можна сказати, що каустична поверхня в просторі складається з двох аркушів.

Як приклад візьмемо відображену поверхню виду

z = x² + 2y²

і освітимо її зверху пучком, що йде паралельно осі z. Якщо обмежитися площиною y = 0, то ми маємо відображення від параболи z = x², а в площині x = 0 відображення йде від параболи z = 2y2^. Це різні параболи, і промені від них сфокусуються на різних висотах, в різних точках осі z. Одна з точок лежатиме на одному аркуші каустичної поверхні, інша — на іншому.

Рис, 5. Відбиття від пластикових вікон. Зображення: «Квант»

Рис. 6. За рахунок перепаду тиску скла прогинаються всередину. Зображення: «Квант»

В останні роки в Інтернеті з’явилися фотографії яскравих чотирикутних зірок на стінах будинків (рис. 5). Це результат відбиття сонячного світла від пластикових вікон з розташованих навпроти будинків. У пластикових вікнах проміжок між склом герметизується, і звідти частково викачується повітря. За рахунок перепаду тиску скла деформуються всередину склопакета і набувають вигляду, представленого на малюнку 6 (зображення сильно розтягнуто вздовж вертикальної осі). Таку поверхню можна добре наблизити графіком функції

підібравши відповідні постійні k і m.

Рис, 7. Зображення на екрані — стіні будинку — при малому видаленні (а) і при більшому видаленні (б). Зображення: «Квант»

Якщо обмежений шматок такої поверхні — «вікно» — висвітлити падаючим зверху пучком паралельний променів, а на шляху відображених променів поставити екран, то при невеликій відстані від вікна ми побачимо на екрані картину, основним фрагментом якої служить восьмикутна зірка (рис. 7, а). При більшому видаленні екрану ми побачимо на ньому чотирикутну зірку на тлі менш яскравого овалу (рис.7, б), що відповідає реальним фотографіям. Чотири відсутні в порівнянні з лівим малюнком промені виявилися відрізаними від зірки через те, що ми розглядаємо відображення тільки від обмеженого шматка поверхні — від квадратного вікна.

Рис, 8. Два види на каустичну поверхню. Зображення: «Квант»

Тепер намалюємо саму каустичну поверхню, відповідну цій оптичній картині. Вона насправді складається з двох аркушів. На малюнку 8 кольором закодовано видалення точок каустики від відбиваючої поверхні: сині точки знаходяться ближче до неї, червоні — далі від неї. Переріз одного з листів каустики — восьмикутна зірка, переріз іншого — межа навколишнього зірку овалу.

Рис. 9. Каустики, що виникають при заломленні світла, найяскравіший елемент — чотирикутна зірка. Зображення: «Квант»

Ріс. 10. Здуття на поверхні води, що імітує бульбашку або меніск. Зображення: «Квант»

Каустики можуть утворюватися не тільки при відображенні, але і при заломленні світла, скажімо на поверхні води. На фотографіях, відтворених на малюнку 9, сонячні промені ламуються або на повітряній бульбашці, або на меніску, що виникає через поверхневе натягнення на голці, зануреній у воду. І тут і там на дні ми бачимо невелику чотирикутну зірку.

Змоделюємо це явище, поставивши заломлюючу поверхню (рис. 10) рівнянням

Ріс. 11. Зображення на екрані — на дні судини. Зображення: «Квант»

Зафіксуємо постійну k і кут падіння сонячних променів і згадаємо, що для води показник заломлення n = 1,33. За допомогою закону переломлення sin ­ = nsin ­ можна розрахувати напрямок переломлених променів — кут ­ — і, значить, побудувати картину, яку формують промені на екрані, розташованому під поверхнею води — на дні судини. Чітко видно ту саму асиметричну чотирикутну зірку (рис. 11), що й на фотографії (див. рис. 9).

Ріс. 12. Каустична поверхня, що утворюється при заломленні на повітряному міхурі. Зображення: «Квант»

А ось і відповідна каустична поверхня для переломлених променів (рис. 12). Сині точки розташовані ближче до поверхні води, червоні більш віддалені від неї. Перетин внутрішньої поверхні — чотирикутна зірка, а зовнішньої — кордон овалу, що містить цю зірку.

На закінчення — наші рекомендації для подальшого читання.

1. Про оптичні властивості параболи та інших кривих можна прочитати в книзі А. Г. Дорфмана «Оптика конічних перерізів» (Популярні лекції з математики, випуск 31. — М.: Фізматліт, 1950).

2. Як записати рівняння огинаючої, можна дізнатися в книзі В. Г. Болтянського «Огинаюча» (Популярні лекції з математики, випуск 36. — М.: Фізматліт, 1961).

3. Нарешті, про особливості пристрою каустичних кривих і каустичних поверхонь ви можете прочитати в книзі В. І. Арнольда «Теорія катастроф» (М.: Наука, 1990).