Паперова модель площини Лобачевського

У 1978 році Ю.В. Матіясевич опублікував у журналі «Квант» * статтю під назвою «Моделі багатогранників». У ній було розказано про конструктор для збирання багатогранників, придуманий американським архітектором Фредом Бассетті. За допомогою цього конструктора ми познайомимося з площиною Лобачевського, зібравши її паперову модель.

Додамо, що Фред Бассетті (1917-2013) — відомий американський архітектор, за його проектами побудовано багато красивих будівель. Свій конструктор він запатентував у 1961 році, і згодом цей конструктор продавався під назвою Flexagons.

Виготовлення конструктора

Ріс. 1. Лист ватмана розбитий на трикутники. Таке розбиття, де в кожній вершині сходяться шість правильних трикутників, називається ще правильним трикутним паркетом

До складу конструктора входять два типи деталей — гумові колічки і багатокутні грані. Як колічки ми рекомендуємо банківські гумки діаметром 4 см. Заготовки для граней вирізаються з аркуша ватмана — щільного білого паперу. Ми будемо збирати багатогранники тільки з правильних трикутних граней, так що лист ватману потрібно розмітити на правильні трикутники зі стороною 12,5 см і нарізати їх у великій кількості (рис. 1).

Один з отриманих трикутників перетворимо на шаблон, виконавши в ньому три дірочки в точках перетину трьох прямих, віддалених від боків трикутника на 1 см (рис. 2). Далі олівцем розмічаємо всі інші трикутники, розставляючи в кожному по три точки через дірки в шаблоні.

Рис, 2. Шаблон з трьома дірочками, ширина смужок у ньому дорівнює 1 см; праворуч — розмічений трикутник зі сторонами 12,5 см

Тепер беремо в руки ножиці і починаємо вирізати заготовки граней. Спочатку в кожній з вершин трикутника, орієнтуючись на зазначену точку, виріжемо по маленькому чотирикутнику (рис. 3, зліва), а потім відігнемо бічні смужки вгору і добре прогладимо згини. Далі відріжемо ще шість маленьких трикутничків, а потім і ще шість поменше (рис. 3, праворуч).

Рис, 3. Фази виготовлення заготовок

Рис, 4. З’єднання граней

На малюнку 4 ми бачимо дві вже готові паперові деталі конструктора. Там же показано механізм з’єднання цих деталей-граней — вони прикладаються один до одного відігнутими ребрами, на які накидається злегка розтягнута гумка.

А тепер можна приступати до великої збірки.

Тетраедр Октаэдр, Икосаэдр, Плоскость?

Почнемо зі збірки тетраедра, у якого в кожній вершині сходяться по три грані, потім зберемо октаедр, у вершинах якого сходяться по чотири грані, потім ікосаедр, у якого в вершинах сходяться по п’ять граней (рис. 5).

Рис, 5. Тетраедр, октаедр, ікосаедр

З них найбільше схожий на сферу наш двадцятигранний ікосаедр, і його цілком можна було б назвати паперовою моделлю сфери.

Спробуйте тепер зібрати багатогранник, у якого в кожній вершині сходяться шість трикутних граней. Тут нас чекає перший сюрприз: виявляється, що в результаті виходить не багатогранник, а багатогранна поверхня, і якщо не зупинятися, то це буде нескінченна поверхня — ціла площина. Це можна перевірити експериментальним шляхом — в процесі складання, а можна просто ще раз подивитися на малюнок 1, щоб зрозуміти, в чому тут справа.

Паперова модель площини Лобачевського

Рис. 6. Паперова модель площини Лобачевського. При збірці вона починає сильно звиватися

А тепер подивимося, що ховається за знаком «?» у заголовку попереднього розділу. Для цього при збірці багатогранника в кожній вершині будемо з’єднувати по сім трикутних граней. Тут знову виникне нескінченна багатогранна поверхня (рис. 6), і, як ми побачимо, вона буде служити непоганою моделлю для площини Лобачевського.

На малюнку 6 зібраний невеликий шматок поверхні, але вже видно, що з ростом числа граней вона починає сильно звиватися і цілком не зможе розміститися в нашому тривимірному просторі — в деякий момент її складання застопориться. Такою ж властивістю володіє і справжня площина Лобачевського, її теж не можна розмістити в тривимірному просторі, — це відома теорема Гільберта.

Вивчення нашої моделі почнемо з того, що спробуємо намалювати на ній пряму. Ось як це можна зробити. Спочатку на вибраній трикутній межі за допомогою лінійки проведемо відрізок прямої. Для продовження відрізка на сусідню межу вирівняємо обидві межі, щоб вони лежали в одній площині, і за допомогою лінійки продовжимо наш відрізок на сусідню межу. Це перший крок, але, повторюючи його раз за разом, можна необмежено продовжити відрізок в одну сторону, і так само в іншу — вийде нескінченна пряма. Але не завжди, а тільки якщо ми ні в який момент не потрапимо в вершину трикутника. У вершині нам не вдасться одночасно вирівняти всі сім трикутників. Максимум можна вирівняти п’ять трикутників, причому двома різними способами. Тим самим, пряма триває неоднозначно.

Рис, 7. Проведення прямої

Зручно вважати, що сторона поверхні, видна на малюнку 6, це вигнанець, а на протилежній гладкій стороні будемо малювати, як це зроблено на малюнку 7. Наша модель завдяки гумкам має пружні властивості, що змушують її згинатися, тому, проводячи пряму, бажано притискати конструкцію лінійкою.

Після того як ми навчилися малювати прямі, можна будувати трикутники. На маленькому шматочку нашої моделі з однією вершиною посередині, де сходяться сім граней, намальовано два трикутники (рис. 8).

Рис, 8. В одному трикутнику сума кутів дорівнює 180 °, в іншому 120 °

Візьміть транспортир і вимірюйте на своїй моделі суму кутів у кожному з них. У тому трикутнику, який не містить вершини, сума кутів дорівнює 180 °, як у звичайному трикутнику на звичайній площині. В іншому трикутнику сума кутів дорівнює 120 °. Якщо всередині трикутника буде дві вершини поверхні, сума кутів у ньому дорівнює 60 °. А трикутників, що містять всередині себе більше двох вершин, на нашій поверхні просто не існує.

На справжній площині Лобачевського відбуваються аналогічні речі. По-перше, там сума кутів будь-якого трикутника менше 180 °, по-друге, площа будь-якого трикутника не може перевершувати деякого фіксованого числа. Другий факт якраз відповідає тому, що у нас всередині трикутника не може лежати більше двох вершин.

Рис. 9. Ці паралельні прямі найбільш близькі в одному місці і розходяться при віддаленні від нього

А тепер про найцікавіше — про паралельні прямі, тобто про прямі, які не перетинаються. Подивіться на малюнок 9, де намальовані дві непересічні — паралельні прямі. Видно, що в деякий момент вони розташовані близько один до одного, але при видаленні і в один і в інший бік від цього місця вони починають розходитися. Це відбувається на нашій поверхні, але це також характерна поведінка паралельних прямих на площині Лобачевського.

Правда, на нашій моделі є і винятки з цього правила. Якщо у смузі між паралельними прямими немає жодної вершини поверхні, ці прямі весь час залишаються на одній і тій же відстані один від одного (рис. 10).

Ріс. 10 (ліворуч). Ці дві паралельні прямі весь час залишаються на однаковій відстані один від одного. Ріс. 11. Через точку поза нижньою прямою проходять дві прямі, паралельні даній (не перетинають її)

І нарешті, про найголовніше — про те, що на звичайній площині через точку, що не лежить на цій прямій, можна завжди провести одну і тільки одну пряму, паралельну даній, а на площині Лобачевського це не так. Не так це і на нашій моделі, і малюнок 11 чітко демонструє це.

На цьому ми закінчимо короткий огляд нашої моделі, а в наступному номері скажемо кілька слів про те, як вона пов’язана з правильними паркетами на площині Лобачевського.

***

У минулому номері ми добре попрацювали з нашою паперовою моделлю. Обговорили її схожість зі справжньою площиною Лобачевського і одночасно розповіли про деякі відмінності. А тепер ми поговоримо про іншу — суто геометричну модель, яка абсолютно точно являє собою площину Лобачевського, а також додамо кілька слів про правильні паркети.

Диск Пуанкарі

Ріс. 12. Шкільна карта Східної півкулі, 1941 р.

Як ми вже говорили в першій частині, по теоремі Гільберта площину Лобачевського не можна розташувати в нашому тривимірному просторі. Але точно так само сферу або напівсферу не можна без спотворень розташувати на звичайній площині. Тим не менш, у нас в розпорядженні є зручні географічні карти — плоскі аркуші (рис. 12), за якими можна орієнтуватися і за допомогою простої шкільної математики обчислювати відстані між різними земними пунктами.

Точно так само є чудова карта площини Лобачевського — диск Пуанкарі. На цій карті площина Лобачевського теж розміщується всередині кола, і прямі на цій карті — це дуги окружностей, перпендикулярні межі кола (рис. 13). Порівняйте цей малюнок з малюнком 9 з першої частини.

Рис, 13. Три прямі в площині Лобачевського зображені на диску Пуанкарі, дві з прямих паралельні третій (не перетинають її) і проходять через одну точку

Знову ж площина Лобачевського зображується на диску Пуанкарі, тобто на звичайному колі, з великим спотворенням, і знову ж таки є нескладна математика, що дозволяє за допомогою цієї карти розраховувати справжні відстані на площині Лобачевського, а також довжини окружностей, площі трикутників та інших фігур і все інше.

Правильні паркети

Розповімо ще про одну чудову властивість площини Лобачевського. Пам’ятайте, в першій частині ми намагалися з правильних трикутників скласти багатогранник, в кожній вершині якого сходилося б по шість таких трикутників, а у нас вийшла ціла площина (малюнок 1 з частини 1)? Виявляється, що на звичайній площині існує тільки кінцеве число таких паркетів, складених з правильних багатокутників. Інша справа — площина Лобачевського, там їх нескінченно багато.

Ріс. 14. Правильний паркет на площині Лобачевського: у кожній вершині, як і на нашій моделі, сходяться сім рівносторонніх трикутників

На малюнку 14 представлений один з них (на диску Пуанкарі). Це найближчий родич нашої паперової моделі, тут теж у кожній вершині сходяться сім рівносторонніх трикутників, тільки на площині Лобачівського кута у них вже не по 60 °, а по 360 °/7.

Зверніть увагу, що на цьому малюнку всі сторони трикутників викривлені, але так і повинно бути — адже на диску Пуанкарі вони повинні бути представлені дугами кола, перпендикулярних кордоні диска.

Крім того, на перший погляд не схоже, що довжини сторін у всіх трикутниках рівні між собою. Але ми вже говорили, що розрахунок відстаней на диску Пуанкарі відбувається не так, як на звичайній площині, і цей розрахунок показує, що всі трикутники на малюнку 14 рівносторонні і дійсно рівні між собою.

Нарешті, зверніть ще увагу на те, що по мірі наближення до граничної кола трикутники візуально зменшуються, і це говорить про те, що найбільш сильні масштабні спотворення відбуваються саме поблизу граничної кола диска Пуанкарі. Напевно, так і повинно бути — адже площина Лобачевського не поміщається навіть у нашому тривимірному просторі, а ми спробували розмістити її всередині звичайного кола.

Інші паркети та інші паперові моделі

На площині Лобачевського існує ще, наприклад, паркет, складений з правильних шестикутників і семикутників (рис. 15).

Рис, 15. Паркет з правильних шестикутників і семикутників на площині Лобачевського

Його теж можна використовувати для побудови паперової моделі площини Лобачевського. Ця паперова модель називається «гіперболічний футбольний м’яч» (hyperbolic football), і ось як вона виглядає в руках математика Френка Соттайла і його учнів (рис. 16). Вони, до речі, скріплюють свої багатокутники не гумками, а скотчем. На фотографії всі моделі повернуті до нас кольоровою стороною, а всі геометричні побудови знаходяться на протилежній — однотонній білій. Ми теж діяли за цим зразком, всі малюнки робили на зручній — гладкій стороні.

Рис, 16. Френк Соттайл зі своїми учнями, кожен з них тримає власноруч зібраний гіперболічний футбольний м’яч

Збірку подібних моделей можна здійснювати і на екрані комп’ютера. Подивіться, як це відбувається, в трихвилинному ролику під назвою Growable surface, створеному Atelier Panda.

А на сайті Matematicas Visuales у розділі «Збірка багатогранників з паперу і гумових ліжок» можна познайомитися з іншими красивими об’єктами, зібраними з конструктора, придуманого Фредом Бассетті.

Насамкінець наводимо посилання на сайт комп’ютерної гри Hyperrogue, в якій можна побродити площиною Лобачевського.

Фото: Валентина Асташ

Художник Олексій Вайнер

^* См. «Квант» № 1 за 1978 р.