«Про укладання млинців, котлет і апельсинів»

Сьогодні Квантік вирішив серйозно попрактикуватися в готуванні. Сам він звичайну їжу не їв, але друзів любив порадувати чимось смачненьким.

Ріс. 1

— Почнемо з млинців, — вирішив Квантік.

З тестом проблем не виникло, але перший же млинець так химерно розтікся по сковороді, що явно наліз би на інші млинці після перевертання (рис. 1).

— Цікаво, а чи помістяться млинці, якщо я переверну їх всі?

Квантік любив спочатку все продумати, а потім вже робити. Навіщо намагатися укладати перекинуті млинці, якщо вони, може, і не влізуть? Спочатку треба довести теорему! Але запах підгораючого тесту змусив Квантика діяти: він схопив таку ж, але холодну сковороду і спритно перекинув туди всі млинці, щоб поки спокійно подумати. Трохи прилипші млинці перекинулися в повітрі цілком разом з гарячою сковородою, але тут же відлипли і акуратно впали на холодну — рум’яною стороною кверху.

— Здається, це був доказ, — осінило Квантіка. — Цікаво, а якби моя сковорода була трикутною? Для рівностороннього трикутника все б спрацювало, а ось для будь-якого… мабуть, не завжди. (А ви зрозуміли, чому?)

Ріс. 2

Наступний млинець Квантік зробив «математичним», у вигляді прямокутника. Перевертаючи його на інший бік, Квантік трохи не розрахував, і прямокутник загорнувся, та так, що навіть виліз за межі сковороди (рис. 2).

— Треба його хоча б зрушити цілком на сковороду. Ой, а раптом не влізе?

Часу на доказ не було, і думки в голові Квантіка змінювалися з шаленою швидкістю.

— І навіщо мені знадобився млинець саме у формі прямокутника? А для іншої форми зрозуміліше, чи поміститься загнутий млинець? Може, це взагалі від форми млинця не залежить… Ну якщо не залежить, то будь-який, навіть найбільший млинець повинен поміститися, якщо його загнути. Стоп, найбільший млинець — це ж… вся сковорода! Але для неї відповідь очевидна!

Ріс. 3

Квантік від несподіванки різко посунув млинець на сковороду і погасив вогонь. Якщо загнути по прямій млинець розміром зі сковороду, менша частина цілком опиниться всередині (під або над) більшою, і загнутий млинець точно влізе на сковороду! А якщо взяти млинець поменше, він влізе після загибу і поготів (рис. 3).

Квантік вирішив, що вистачить з нього на сьогодні млинців. Краще зробити що-небудь просте і зрозуміле — ось, наприклад, котлети. Причому круглі і абсолютно однакового розміру.

Ріс. 4

Приготувавши фарш, Квантік швидко наліпив котлет і став як потрапило викладати їх на розігріту сковороду. Після шостої котлети він виявив на столі сьому, місця для якої з вигляду вже не було. Квантік швидко зрушив котлети впритул один до одного і втиснув сьому на край — вийшло «тютелька в тютельку» (рис. 4).

— Пощастило? Або якщо 6 влізло, то й 7 влізе? — задумався Квантік. Поки котлети смажилися з одного боку, він акуратно сформулював гіпотезу.

Котлетна теорема

Нехай на круглій сковороді вдалося помістити 6 однакових круглих котлет. Тоді на цю сковороду поміститься і додаткова сьома така ж котлета (можливо, для цього доведеться пересунути попередні).

Начебто ясно, що розташування у вигляді «ромашки», коли одна котлета в центрі, а решта навколо, найвигідніше. Але як це довести? Якщо одна котлета лежить точно по центру і є місце ще хоч для однієї, то інші шість влізуть — просто поспіль по колу. А якщо ніяка котлета не лежить строго по центру? Ніяких ідей…

Квантік перевернув котлети, думаючи далі.

— Зайдемо з іншого боку: яка сковорода потрібна для 7 котлет? Радіус котлети, скажімо, 1. Тоді для «котлетної ромашки» вистачить сковороди з радіусом 3. Ідея! Доведемо, що якщо 6 котлет помістилося, то радіус сковороди не менше 3.

Квантік зменшив газ і накрив котлети кришкою.

— І що далі? Треба якось використовувати, що котлети не накладаються один на одного. Ага, це означає, що відстань між будь-якими двома центрами котлет не менше 2. А ще котлети не вилазять за межі сковороди — тобто відстань від її краю до центру будь-якої котлети не менше 1. Іншими словами, центри котлет лежать у колі радіусу на 1 менше, ніж у сковороди. Переформулюємо завдання:

Точки в колі

У колі лежать 6 точок, відстані між будь-якими двома з них не менше 2. Тоді і радіус кола не менше 2.

— Спробувати від супротивника? — роздумував Квантік. — Нехай радіус кола менше 2. Випадок, коли якась крапка в центрі кола, розібраний. А якщо всі точки не в центрі, а десь навколо? З’єднаю їх з центром.

Ріс. 5

Квантік погасив вогонь, взяв папірець і олівці і провів з центру кола шість зелених відрізків. Потім подумав трохи і поєднав «сусідні» точки червоними відрізками (рис. 5). Вийшло 6 трикутників.

— Всі зелені відрізки коротші 2. А всі червоні — не менше 2. Тоді в кожному з шести трикутників червона сторона — найдовша. А це означає…

Квантік відчував, що рішення десь зовсім поруч. І тут він згадав, що в трикутнику проти більшого кута лежить велика сторона.

-… це означає, що в кожному трикутнику кут проти червоної сторони строго найбільший. Тоді він за величиною більше третини від суми кутів — від 180 ° — тобто більше 60 °. Стоп-стоп-стоп! Шість кутів по колу — і кожен більше 60 °? Виходить, їх сума більше 360 ° — більше повного обороту! Протиріччя!!!

Квантік, вирішивши завдання, ніколи не міг відразу зупинитися. Ось і зараз він ще якийсь час роздумував над останнім кроком рішення.

А якби радіус кола дорівнював 2? Тоді червона сторона в кожному трикутнику знову найдовша, але вже не строго — вона може і дорівнювати зеленим. Значить, кут проти неї не менше 60 °. А раз сума шести таких кутів дорівнює 360 °, всі вони по 60 °. Тобто точки лежать на кордоні кола у вершинах правильного шестикутника!

Квантік сформулював доведений факт:

Друга котлетна теорема

Якщо на сковороді радіусу 3 лежать 6 котлет радіусу 1, можливі два випадки. Перший: одна котлета лежить точно по центру, а решта — по краях, торкаючись центральної. Другий: 6 котлет лежать «ромашкою» з порожнім центральним місцем.

Ріс. 6

Після всіх цих котлетних теорем треба було перепочити, і Квантік вирішив потренуватися в прикрасі столу. Він поставив на стіл страву для фруктів — зрозуміло, математичну, у формі рівностороннього трикутника — і став викладати на нього апельсини: теж математичні, тобто абсолютно круглі й однакові. Апельсинів було 9, і на страві залишилося місце ще рівно для одного, якого, на жаль, не було (рис. 6).

— Некрасиво, — подумав Квантік.

Квантик довго укладав апельсини в один шар і так, і так, і нарешті прийшов до того, що вірна

Апельсинна теорема

Якщо страва у вигляді рівностороннього трикутника розрахована рівно на 10 апельсинів (в один шар, впритул один до одного і країв), то, як туди не поклажі 9 апельсинів (в один шар), обов’язково залишиться місце і для десятого, навіть якщо не зрушувати решту.

— Ось тобі відпочинок, — зітхнув Квантік. — Як підступитися до доказу — абсолютно незрозуміло. Коли на страві 10 апельсинів, вони — вірніше, їх центри — утворюють красиву трикутну решітку. Але чому і 9 ніяк по-іншому не покладеш — тільки у вигляді решітки з одним пропуском? Намалюю цю решітку. Радіус апельсина візьму за 1.

Ріс. 7

Квантік зобразив апельсини колами на площині — адже завдання фактично зводилося до цього плоского варіанту. У нього вийшов великий трикутник, розділений на менші, а страву і апельсини Квантік намалював пунктиром (рис. 7).

— Центри апельсинів відстоять від краю страви хоча б на 1 і тому лежать в межах трикутної решітки. Сторони маленьких трикутників дорівнюють 2. Тоді для центрів таке завдання виходить:

Трикутник зі стороною 6 розбитий на маленькі трикутники зі стороною 2 (рис. 7). У ньому лежать 9 точок, відстані між будь-якими двома точками не менше 2. Довести, що всі точки лежать у вершинах маленьких трикутників (у вузлах решітки).

Ріс. 8

— Щось тут нагадує котлетну теорему… Ага, якщо відкинути три кути, залишається шестикутник — та ж «ромашка»! Намалюю-но його червоним кольором (рис. 8). Можна навіть навколо нього невидиме коло описати радіуса 2. Але далі-то що? У нас же тепер 9 точок, а не 6. Стоп! А що якщо 6 точок з 9 потрапляють в червоний шестикутник? Друга котлетна теорема! Адже 6 точок лежать тоді в невидимому колі, а значить, або одна точка в центрі і 5 — на краю кола, або всі 6 точок на краю. Але край кола перетинається з шестикутником тільки в його вершинах! Отже, якщо 6 точок всередині шестикутника — вони всі у вузлах решітки.

Квантик перевів дух і продовжив розбиратися.

— А скільки точок може бути зовні шестикутника, тобто в трьох «кутових» трикутниках? Ага, в кожному максимум по три, тобто всього тричі три — дев’ять? Ні, я неправильно вважаю. Адже якщо точка на червоній стороні кутового трикутника, то вона і в шестикутнику теж. А мені треба зрозуміти, скільки точок можуть бути строго поза шестикутником. У кожному кутовому трикутнику така точка… одна! Отже, поза шестикутником — максимум 3 точки, а в шестикутнику — мінімум 6. Ура!!! Адже тоді ці 6 (або більше) точок лежать у вузлах решітки. І в кожен кутовий трикутник потрапить хоч одна з них, тому і в кутових трикутниках точкам нікуди діватися крім вузлів. Все доведено!

Квантік захотів дізнатися, чи не зустрічалися раніше подібні завдання. Полазив по интернету, он выяснил, что автор задачи про блины — А. М. Абрамов, про загнутый прямоугольник — В. В. Произволов, про апельсины — Н. П. Долбилин, который, кстати, предлагал подумать над общим случаем — когда в блюде помещается не 10, а 15 апельсинов, 21 и т.д. (у вигляді трикутної решітки, але з великою кількістю точок). Завдання про котлети виявилося глибоким фольклором — напевно кожен математик, який займався проблемою упаковки кіл у колі, її знав (а «офіційний» доказ опублікував у 1968 році Рональд Грехем).

А ще Квантік знайшов завдання М. А. Євдокимова з Турніру міст, яка дуже йому сподобалася:

Апельсини в кубі

У кубічну коробку помістили 3 однакових апельсини. Доведіть, що в таку ж порожню коробку можна помістити 4 таких же апельсини.

Квантік впорався з нею за кілька годин і вирішив розповісти доказ у журналі «Квант» — вже боляче воно непросте вийшло, хоча і коротке.

А нашим читачам він вирішив нагадати ще кілька «кулінарних» завдань, що вже зустрічалися на сторінках нашого журналу. Впораєтеся?

Печива на противні

На прямокутний противень поміщається 100 круглих печінь. Чи обов «язково на такий самий противник можна укласти 400 круглих печінь удвічі меншого радіусу?

Торт з глазур’ю

Квадратний торт облитий зверху і з боків глазур’ю. Розріжте його на 5 цільних шматків, в яких порівну і торта, і глазурі.

Ріс. 9

Зайвий апельсин

У пласкій коробці в один шар впритул лежать однакові круглі апельсини — 8 рядів по 5 штук у кожному (рис. 9). Чи вдасться помістити в коробку ще один такий апельсин?

Художник Марія Усеїнова