Простір трикутників (закінчення)

Початок у «Квантиці» № 1 і № 2, 2021.

Точка, де небо стосується Землі, — дослідник на кордоні Миру. «Гравюра Фламмаріону», Вікіпедія

А тепер рушимо до кордонів і полюсів Трикутного Світу. При цьому постійно будемо стежити за трикутниками, повз які проходимо.

Рівнобедрені трикутники

Ріс. 11. Рівнобедрений трикутник

Особливе місце в Трикутному Світі займають рівнобедрені трикутники, нанизані на його екватори як хребці (рис. 12).

Визначення. Рівнобедрений трикутник — це трикутник з двома рівними сторонами (рис. 11).

Теорема. У рівнобедреному трикутнику проти рівних сторін лежать рівні кути. Якщо в трикутнику два кута рівні, то проти них лежать рівні сторони і трикутник рівнобедрений.

У напрямку кордону

Що відбувається з намальованими на карті трикутниками в міру наближення до кордону (рух уздовж першої стрілки на малюнку 12)?

Ріс. 12. На карті прокладено маршрут: спочатку ми рухаємося до кордону Миру, а потім уздовж неї до Червоного полюса

Відповідь очевидна: вони сплющуються і на самому кордоні перетворюються на відрізок з позначеною на ньому точкою — в сплюснутий трикутник (рис. 13).

Рис, 13. Сплюснутий трикутник, a = b + c

Для сплюснутого трикутника нерівність трикутника перетворюється на рівність. У ньому велика сторона дорівнює сумі двох інших: a = b + c.

Вправа 12. Чому дорівнюють кути сплюснутого трикутника на малюнку 13?

Кути рівні, чи рівні сторони?

З теоремою про рівнобедрений трикутник на кордоні Трикутного Світу нас чекає сюрприз. Напевно, ви здогадалися, що у сплюснутого трикутника на малюнку 13 один кут (зелений) дорівнює 180 °, а інші два — по 0 °. Але проти цих двох рівних нульових кутів лежать дві нерівні сторони b ­ c.

Виходить, друга частина теореми невірна? На щастя, математики давно розробили потрібну теорію — аналіз нескінченно малих. На нашому маршруті ми йшли повз трикутники, у яких можна відзначити свої синій і червоний кути. При підході до кордону і сині, і червоні кути поступово «перетворюються» на нульові, але роблять це не однаково. Вирахувавши в кожному трикутнику ставлення синього кута до червоного, ми побачимо: поки ці кути ще не стали нулями, але вже практично «нескінченно малі», їх ставлення не відрізнити від b/c. З цієї точки зору, умовно будемо вважати, що в сплюснутому трикутнику синій і червоний кути ставляться один до одного як b/c.

Так нескінченно малі рятують теорему про рівнобедрений трикутник: нульові кути (рис. 13) не рівні один одному з точки зору їх ставлення! Вони будуть рівними лише для рівнобедреного сплюснутого трикутника, де( a =frac {1} {2}) ,( b =frac {1} {4}) ,( c =frac {1} {4}).

Вправа 13. Де розташований цей трикутник на карті (це недалеко від місця нашого виходу на кордон)?

Але продовжимо наш маршрут.

До полюса вздовж кордону

У міру наближення до Червоного полюса (вздовж другої стрілки) довжини сторін a і b вирівнюються, сторона c зменшується, а дві вершини сплюснутого трикутника (зелена і синя) зближуються (рис. 12). У підсумку полюс постає перед нами рівнобідреним трикутником зі сторонами( a =frac {1} {2}) ,( b =frac {1} {2}), c = 0.

Ріс. 14. Трикутник, що представляє Червоний полюс

Кут між a і b дорівнює 0 °. А два інших кути?

Таємниця червоного полюса

Ми зайшли в Червоний полюс вздовж кордону Трикутного Світу. Всі трикутники, повз які ми проходили, були сплюснутими і всі мали кути 0 °, 180 ° і 0 °. Змінювалися тільки довжини їхніх сторін. З цієї точки зору кути полюсного сплюснутого трикутника (рис. 14) теж повинні бути 180 °, 0 ° і 0 °.

Рис, 15. Трикутники поблизу Червоного полюса, вершини пофарбовані в колір того полюса, на який вони вказують

Але якщо входити в Червоний полюс вздовж екватора, у полюсного трикутника сторони будуть ті самі(frac {1} {2}) ,(frac {1} {2}), 0, а ось кути будуть 90 °, 90 ° і 0 °. Той же трикутник з кутами 90 °, 90 ° і 0 ° ми отримаємо, входячи в полюс уздовж меридіану, відповідного 90 °.

І взагалі, входячи вздовж меридіану, що відповідає куту ­ °, ми побачимо на полюсі трикутник зі сторонами(frac {1} {2}) ,(frac {1} {2}), 0 і кутами ­ °, 180 ° ‑ ^ °, 0 °. Отже, ми не можемо приписати двом нашим кутам якісь певні значення, а отримуємо на Червоному полюсі ціле сімейство сплюснутих трикутників (рис. 15). І те ж саме — на інших полюсах.

На полюсі: сторони рівні, кути немає

Отже, Червоний полюс вміщує ціле сімейство трикутників з рівними сторонами( a = b =frac {1} {2}), кути проти яких не рівні між собою. І невірна перша частина теореми про рівнобедрений трикутник.

Цього разу ми врятуємо теорему, застосувавши інший математичний трюк: перетворимо її на визначення.

Визначення. Трикутник — рівнобедрений, якщо в ньому є дві рівні сторони і два рівних кута, причому рівні кути лежать проти рівних сторін, а рівні сторони — проти рівних кутів.

Зауваження. Серед сплюснутих трикутників є два типи рівнобедрених — з двома кутами 0 ° і з двома кутами 90 °. Рівнобедрені трикутники другого типу розташовані в полюсах Трикутного Світу.

Вправа 14. За допомогою нашого нового визначення рівнобедреного трикутника доведіть раніше сформульовану Теорему про рівнобедрений трикутник.

Наша подорож завершена, але історія Трикутного Світу на цьому не закінчується.

Післямова: трикутний світ II

Журнал вимірювань

Трикутний Світ виник завдяки кільком вимірам всередині правильного трикутника.

Пропонуємо вам провести нову серію вимірювань. Намалюйте будь-який трикутник. Виміряйте транспортиром його кути порожні, порожні, а потім вирахуйте їх суму. Зробіть п’ять експериментів, малюючи кожен раз новий трикутник, і заповніть журнал вимірювань. Ви отримаєте дивовижний результат! Спробуйте на його основі побудувати новий Трикутний Світ II.

Художник Марія Усеїнова