«Пряме на кривому, або Прогулянки по викривленій поверхні (продовження)»

Продовження. Початок у «Квантиці» № 8, 2020.

У минулому номері «Квантика» ми обговорили, що означає «йти прямо» по кривій поверхні. Такі «прямі» лінії називаються геодезичними, і на кожному досить маленькому, майже плоскому шматочку поверхні вони повинні не відрізнятися від звичайної прямої лінії. Головне — не дивитися кудись вдаль, а йти прямо найближчі пару кроків! А потім ще пару… Ми також дізналися, як просто і зручно виготовити дві поверхні — циліндр і конус. Тепер уявімо собі, що Дуже Маленька Істота йде прямо, не згортаючи, по Дуже Довгому Циліндру — який буде його шлях?

Прогулянка циліндром

Рис. 6

Циліндр робиться з прямокутного аркуша паперу склеюванням двох протилежних сторін (рис. 6). А сам лист, до того як його склеїли, називається розгорткою циліндра.

Виберемо точку десь на циліндрі. З неї можна йти в різні боки, тому через неї проходить безліч геодезичних — наприклад ^{утворює 1} (якщо піти паралельно осі циліндра, то з утворюючою нікуди не звернеш). Інша геодезична — коло: по ній ми пройдемо, якщо почнемо рухатися перпендикулярно утворюючою. А якщо піти кудись ще, між цими двома напрямками?

Рис, 7. Розгортання циліндра і шматочки декількох геодезичних, що проходять через одну точку. Утворюючі циліндри — горизонтальні прямі

— Важливі тільки досить близькі точки, далі двох кроків вперед дивитися не треба! Тому можна спокійно розгорнути назад наш аркуш паперу (якщо вже встигли склеїти, доведеться розрізати по одній з утворюючих). Адже маленький, майже плоский шматочок циліндра — це те ж саме, що маленький шматочок його розгортки. І креслити геодезичну на цьому плоскому аркуші набагато зручніше, ніж на циліндрі!

Отже, від вибраної нами точки десь в середині розгортки треба намалювати маленький відрізок прямої, потім продовжити його ще трохи подалі… Та ж просто пряма виходить (рис. 7)!

Коли ми добираємося до лінії склейки, виникає невелика проблема. Куди далі йти? Як продовжити шлях за лінію склейки?

Рис, 8. Фрагмент геодезичного розгортання циліндра

Завдання 1. Домалюйте геодезичну на розгортці циліндра на малюнку 8. Коли накресліть, не забудьте скласти циліндр і перевірити, чи схожа геодезична в районі склейки на пряму.

Рішення на наступній сторінці, а поки ви думаєте — ось ще така ж задачка про конус.

А тепер — конус!

Якщо склеїти конус з прямокутного листа, основа буде нерівною і навіть з стирчачними кутами. Але можна обрізати розгортку заздалегідь так, щоб ніяких кутів не було, а підставою нашого конуса була красива, акуратна окружність.

Завдання 2. а) По якій лінії потрібно обрізати розгортку, щоб при склеюванні паперового конуса його основа виявилася окружністю?

б) (трохи складніше) Який кут розчину конуса вийде з такої розгортки? 2

Пора йти гуляти! Однак не поспішайте склеювати ваш конус, тому що, як і у випадку з циліндром, геодезичні набагато зручніше малювати на розгортці.

Завдання 3. Виберіть якусь точку на вашій розгортці (не на лінії склейки) і проведіть через неї олівцями різних кольорів

1. геодезичну, що проходить через вершину конуса (вона називається утворюючою конуса);
2. геодезичну, яка на цій розгортці паралельна лінії склейки;
3. геодезичну, яка на цій розгортці перпендикулярна лінії склейки.

Рис. 9. Розгортання конуса і сам конус

Шматочки деяких з цих ліній вже є на малюнку 9, потрібно продовжити їх. Постарайтеся намалювати або хоча б уявити собі, як ці лінії будуть виглядати на «зібраному» конусі. Потім складіть з вашої розгортки конус і перевірте.

Не забудьте, що йти прямо можна в обидва боки! Геодезична не може взяти та й закінчитися «в чистому полі», посеред конуса… Виняток — особлива геодезична, яка приводить у вершину конуса. Там сама поверхня негладка — такий вже гострий кінчик, що абсолютно незрозуміло, як можна його перетнути. У природі, звичайно, таких зовсім гострих кінчиків не буває, вони завжди заокруглені як-небудь — і тоді по них пройти можна.

Завдання 4. Малюємо (краще на новому аркуші) загальний випадок — геодезичну, яка з обраної нами точки на розгортці (і конусі) виходить у довільному напрямку (наприклад, червона лінія на малюнку 9). Знову важливо зрозуміти, що робити при перетині лінії склейки. Пам’ятайте — в околиці кожної своєї точки геодезична схожа на пряму! А в кінці складіть конус, переконайтеся, що на лінії, що вийшла, немає зломів і кутів.

***

Рис, 10. Геодезична на циліндрі

Вирішення завдання 1. Перейшовши лінію склейки, ми опинимося на нижній межі розгортки, рівно під тим місцем, де досягли верхньої межі. Далі потрібно продовжувати рухатися в тому ж напрямку, значить, кут між лінією подальшого шляху і утворюючою циліндра (лінією склейки) залишиться тим же, що і до переходу через лінію склейки. Тому подальший шлях піде відрізком прямої, паралельної відрізку на малюнку 10. Незабаром ми знову, вже вдруге, доберемося до верхньої лінії склейки… Такі відрізки-продовження потрібно малювати по обидва боки від початкової точки. У результаті на розгортці вийде набір паралельних один одному рівновіддалених відрізків. А на циліндрі — гвинтова лінія.

Ріс. 11. Геодезичні на конусі

Вирішення завдань 3 і 4. Знову, поки ми не дійшли до лінії склейки, всі лінії на розгортці — прямі (рис. 11). При переході лінії склейки на розгортці конуса ми потрапимо в точку на другій лінії склейки, на тій же відстані від вершини. Щоб продовжувати йти в той же бік, потрібно, щоб кут, утворюваний новою прямою з лінією склейки, залишився колишнім, причому якщо ми йшли «від вершини» (вгору і вліво), то і далі треба йти «від вершини» (тепер вже вниз і вправо).

***

Якщо ви впоралися з останніми двома завданнями — або хоча б подивилися рішення, — ви, напевно, помітили, що всі геодезичні, як їх не стрій і куди не направляй з обраної точки, виходять дуже ^{схожими}. Відрізняються вони всього одним параметром: мінімальною відстанню до вершини.

Завдання 5. На всіх розгортках геодезичних завдань 3-4 позначте мінімальну відстань, тобто для кожної геодезичної знайдіть точку, яка ближче всіх до вершини конуса.

І ще одна чудова властивість цього конуса: «кінці» будь-якої геодезичної паралельні один одному і на викрої, і на конусі. Забавно, так? «Пряма» паралельна самій собі… Насправді — наприклад, у геодезичної, паралельної утворюючої (пункт а в завданні 4), це явно видно: на розгортці обидва її «кінця» паралельні лінії склейки. При складанні розгортання в конус все це спотворюється, і паралельність, взагалі кажучи, порушується (пряма на розгортці взагалі перестає бути справжньою прямою, хоча і залишається геодезичною на конусі). Але далеко від вершини конуса будь-яка невелика ділянка його поверхні все менше відрізняється від шматочка площини, а відстань від цих «кінців» до колишньої лінії склейки залишається тим же самим. Тому «кінці» геодезичної виявляються майже справжніми прямими, при цьому майже паралельними! І чим далі від вершини конуса, тим вони «паралельніші» 4.

Але чому ж усі геодезичні однакові?

Виявляється, завдання 4 можна було б і не вирішувати — будь-яку геодезичну, з будь-якої точки і в будь-яку сторону, можна побудувати так, як у завданні 3, якщо використовувати один хитрий прийом.

Переклейка

Рис. 12

Ідея цього прийому в тому, що розгортку конуса можна отримати, розрізаючи його по будь-якій утворюючій. Наприклад, треба провести геодезичну через точку А в заданому напрямку (рис. 12). Замість того щоб розбиратися, як вона перетне лінію склейки, можна цю лінію склейки просто перенести! Проведемо через точку О (майбутню вершину конуса) на нашій розгортці пряму, паралельну цьому самому заданому напрямку майбутньої геодезичної. По цій лінії розріжемо нашу розгортку, потім повернемо один з утворених трикутних секторів навколо точки О і склеїмо по старій лінії склейки. Вийшла нова розгортка, на якій шукана геодезична — пряма, паралельна новій лінії склейки. Заодно ми довели, що всі геодезичні на конусі відрізняються лише одним параметром — мінімальною відстанню до вершини.

Звичайно, «переклейка» допомагає не завжди. Так що вміння побудувати будь-яку геодезичну на будь-якій розгортці все одно стане в нагоді. Але, навіть не користуючись ножицями і клеєм, іноді корисно робити «переклейку» подумки — уявляти собі, яка картинка вийшла б при цій процедурі. Ось приклад:

Завдання 6. Візьмемо розгортку конуса з двома точками A і B на ній. Побудуйте на ній всі геодезичні, за якими можна прийти з А в В. А як ці геодезичні виглядають на конусі? Перевірте.

Вирішивши це завдання, ви навчитеся не просто йти по «прямій» куди очі дивляться, а досягати наміченої мети, йдучи тільки прямо. Ось ще одне таке завдання.

Ріс. 13

Завдання 7. На розгортанні циліндра задано дві точки А і В (рис. 13). Знайдіть всі геодезичні, що проходять через обидві ці точки. Як виглядають ці геодезичні на самому циліндрі? Як побудувати їх на розгортці? 5

Як будувати шлях з однієї точки в іншу на циліндрі і на конусі, ми детально обговоримо в наступному номері. Якщо ви вже в цьому розібралися, подумайте ще ось над чим. Конуси ж можна робити і більш широкими, і більш вузькими — для цього треба склеювати краї не біля напівплоскості, а у сектора з іншим кутом — наприклад, 270 ° або 90 °. Як виглядають геодезичні на таких розгортках і на відповідних конусах?

Художник Олексій Вайнер

Закінчення слід.

¹ Зауважимо, що на склеєному циліндрі лінія склейки вже нічим не виділяється, не відрізняється від інших утворюючих. І щоб отримати розгортку, можна розрізати циліндр за будь-якою утворюючою.

² Підказка. Для вирішення цього завдання корисно знати, що таке порожня. Рішення — наприкінці журналу.

³ Зверніть увагу, що кола, паралельні основі конуса, не геодезичні! Щоб обходити конус по колу, «не втрачаючи висоти», доведеться весь час трохи повертати.

⁴ Це, до речі, показує, що геодезична лінія на конусі не є пласкою кривою, тобто не лежить ні в якій площині. Адже інакше вона виходила б розрізанням конуса по цій площині. Але при будь-якому розрізанні конуса виходять або кола, або еліпси, або фігури з «краями, що розходяться» — параболи і гіперболи.

⁵ Підказка. Першу намалювати легко, вона з’єднує точки А і В відрізку. Друга геодезична повинна перетинати лінію склейки циліндра — в завданні 1 ми бачили, як виглядають такі геодезичні. Як досягти, щоб вона пройшла через точку B? Потрібно придумати спосіб, як по А і В знайти на розгортці точку, де геодезична перетинає лінію склейки. А може, є і ще підходящі геодезичні?..

Відповіді

2. а) За напівкружиною з центром у майбутній вершині конуса: адже всі точки основи готового конуса знаходяться на однаковій відстані від його вершини.

б) Довжина напівкружності радіусу R на розгортці дорівнює довжині цілого кола — основи конуса (^ R = 2^ r); отже, R = 2r, і кут розчину дорівнює 60 °.

5. Найближча до вершини точка — та, в якій напрямок на вершину перпендикулярно геодезичної. На розгортці теж потрібно опустити з центру конуса перпендикуляр на геодезичну.

7. Ще підказка: згадайте про «переклейку» конуса. Як би тут, в циліндрі, зробити щось схоже?