Великі калібри фізики

Іноді на перший погляд абсолютно абстрактні математичні теорії допомагають фізикам-теоретикам зрозуміти, як влаштований наш світ.

Історія і сучасність

«Класична фізика здебільшого йшла так, що встановлення зв’язку математичних величин з реальними речами передувало рівнянням, тобто встановленню законів, причому знаходження рівнянь становило головне завдання, бо зміст величин заздалегідь представлявся ясним незалежно від законів… Сучасна теоретична фізика, не скажу — свідомо, але історично так воно і було, пішла іншим шляхом, ніж класика. Це вийшло само собою. Тепер насамперед намагаються вгадати математичний апарат, що оперує величинами, про які або про частини яких заздалегідь взагалі не ясно, що вони означають «. Мандельштам, лекція з квантової механіки, 1939 рік

У рік закінчення Першої світової війни двоє німецьких математиків геттінгенської вишколу опублікували роботи, що мають величезне значення для теоретичної фізики. Одна з найбільш блискучих алгебраїстів XX століття Еммі Нетер представила докази двох знаменитих нині теорем, що пов’язують закони збереження різних величин (енергії, імпульсу, кутового моменту, заряду тощо) з симетріями рівнянь, що описують фізичну систему.

Ці теореми стали потужним і універсальним засобом виявлення подібних законів у ньютонівській і релятивістській механіках, теорії тяжіння, електродинаміці, квантової теорії поля і фізиці елементарних частинок.

Стаття Германа Вейля «Гравітація і електрика», опублікована не в Геттінгені, а в Берліні, відома набагато менше. Тим часом вона і її продовження, що вийшло роком пізніше, поклали початок надзвичайно ефективному підходу до конструювання теорій мікроміру, який сформувався вже в другій половині XX століття. З його допомогою була створена об’єднана теорія трьох фундаментальних взаємодій, сильної, слабкої та електромагнітної, яку назвали Стандартною моделлю.

Симетрія: глобальна і локальна

Комплексну хвильову функцію кожної квантової частинки можна представити у вигляді вектора, напрямок якого визначає фазу частинки. Глобальна симетрія означає, що, якщо повернути вектори всіх частинок, що заповнюють простір, в одному напрямку на однакову величину, закони фізики не зміняться. Калібрувальна симетрія — локальне перетворення, індивідуальний поворот фази кожної частинки.

Від сил до потенціалів

Як завжди і буває, у Вейля були попередники. На початку XIX століття роботи кількох математиків, насамперед Гаусса і Пуассона, перетворили математичний апарат ньютонівської теорії тяжіння.

У новій інтерпретації вона постала як силове поле, що пронизує Всесвіт. Це поле стали описувати гравітаційним потенціалом — скалярною функцією, що залежить від просторових координат, але не від часу. При цьому сила тяжіння в будь-якій точці повністю визначається тим, наскільки різко змінюється поблизу неї цей потенціал (тобто його градієнтом).

Це нововведення збагатило математичний апарат небесної механіки та інших розділів фізики, де доводиться мати справу з тяжінням, але ввело в опис гравітації якусь невизначеність. У законі Ньютона фігурують сили тяжіння, які можна вимірювати безпосередньо, і визначаються вони однозначно (в обраній системі одиниць).

А ось значення гравітаційного потенціалу можна змінити на будь-яку постійну величину — градієнт залишиться тим же. У ті часи це виглядало тривіальним наслідком математичного формалізму, що не має відношення до реальної фізики.

Сторіччям пізніше таким же чином переписали класичну електродинаміку. У початковій формі вона була представлена рівняннями Максвелла, куди входять вимірювані на досвіді напруженості електричного і магнітного поля. Ці рівняння теж зручно виразити через потенціал, тільки більш складний, ніж у ньютонівської гравітації (крім скалярної частини, в нього входить вектор, що визначає величину магнітного поля).

Рівняння електродинаміки в такому записі виглядають дуже елегантно і природно вбудовуються в простір-час спеціальної теорії відносності. Однак вони стають неоднозначними, оскільки одному і тому ж полю можуть відповідати різні потенціали. Наприклад, до векторного потенціалу можна додати будь-який постійний вектор, а до скалярного — будь-яке число.

Більш того, ці добавки можуть змінюватися і в просторі, і в часі, лише б вони були правильно пов’язані один з одним, так що свавілля у виборі електромагнітних потенціалів істотно більше, ніж у разі ньютонівської гравітації. Фізики та математики початку минулого століття чудово бачили цю неоднозначність, але, як і попередники, не надавали їй особливого значення.

Калібрувальні перетворення

Ця властивість електромагнітних потенціалів має глибокий фізичний сенс. Їхні взаємні зміни компенсують один одного точно таким чином, щоб зберегти в колишньому вигляді рівняння Максвелла.

Неоднозначність вибору фактично відображає нерозривний зв’язок між електрикою і магнетизмом.

Перетворення потенціалів, які не змінюють рівнянь електромагнітного поля, називають калібрувальними (цей термін теж сходить до статей Вейля) — як кажуть фізики, ці рівняння інваріантні щодо калібрувальних перетворень. У квантовій електродинаміці така інваріантність, відповідно до теореми Нетер, тягне за собою закон збереження електричного заряду.

Таким чином, калібрувальна інваріантність, незважаючи на свій начебто формальний характер, відкриває можливість висновків, що мають прямий фізичний сенс!

І не тільки щодо електромагнетизму. Принцип еквівалентності, на якому базується загальна теорія відносності (ОТГ), стверджує, що поле тяжіння викликає такі ж фізичні ефекти, як і прискорення. Якщо недалеко від зорельоту з працюючим двигуном помістити тяготіючі маси, то в принципі можна повністю скомпенсувати імпульси двигуна і створити в кабіні зону невагомості.

Така компенсація прискорень за допомогою змінного гравітаційного потенціалу аналогічна взаємній компенсації змін потенціалів електромагнітного поля. Це наводить на думку, що рівняння ОТГ повинні підкорятися якомусь аналогу калібрувальних перетворень.

Такі міркування зараз здаються цілком природними, але сто років тому до них ніхто не додумався. Калібрувальна інваріантність — і як ідея, і як термін — прийшла в теоретичну фізику іншим шляхом. Щоб зрозуміти, як це сталося, звернемося до робіт Вейля.

Групи симетрії та калібрувальні бозони: від абстракції до реальності

У теоретичній фізиці інваріантність до певних перетворень призводить до появи спеціальних властивостей. Наприклад, ньютонівське рівняння руху інваріантне до трансляції (зміщення на деяку відстань у просторі), що призводить до закону збереження імпульсу. Калібрувальні перетворення на перший погляд здаються абстрактними, але вони призводять до існування різних калібрувальних полів, пов’язаних з математичним поняттям груп симетрії.

У групі U (1) тільки один фазовий кут, у Стандартній моделі йому відповідає один бозон (електромагнітної взаємодії — фотон), група SU (2) має три фазових кута (у СМ — три бозони слабкої взаємодії), SU (3) — вісім фазових кутів (вісім бозонів сильної взаємодії — глюонів).

Світ змінних масштабів

Вейль записав рівняння гравітаційного поля в просторі з іншою геометрією, ніж та, якою скористався Ейнштейн. У підсумку до них додалися формули, в яких Вейль побачив основні риси рівнянь Максвелла. Цим шляхом він отримав математичну конструкцію, яку визнав єдиною теорією електрики і тяжіння.

Рівняння ОТГ записуються в римановому просторі, викривленому чотиримірному просторі-часу з однозначною метрикою. На відміну від «плоского» євклідового простору, де при перенесенні довільного вектора вздовж замкнутої кривої після повернення у вихідну точку він опиниться в колишній позиції, в римановому просторі такий перенос закінчиться поворотом вектора на ненульовий кут, який буде мірою кривизни простору в цій точці. З іншого боку, довжина вектора після перенесення залишається тією ж самою — в цьому і полягає однозначність метрики.

Від цього обмеження і відмовився Вейль. Він припустив, що рівняння тяжіння не повинні залежати від масштабів, що застосовуються для вимірювання довжини. У буденному житті можна з рівним успіхом користуватися метрами, футами, аршинами і сливками. Численні значення довжини будь-якого відрізка залежать від одиниці вимірювання, але відносини між ними суворо зберігаються.

Щось подібне відбувається і в геометрії Вейля, тільки масштабна одиниця безперервно змінюється від точки до точки. Слідом за нею змінюються і довжини, але відносини цих довжин для будь-якої пари векторів із загальним початком залишаються незмінними. Операцію зміни масштабів Вейль назвав перекалібровкою. Вона зберігає рівняння гравітаційного поля — це і є калібрувальна інваріантність у своїй ранній історичній іпостасі.

Але причому тут електрика? В ОТГ довжини векторів зберігаються, тому порівняти їх не представляє проблеми. А ось Вейлю довелося ввести математичні правила, що дозволяють з’ясувати, чи мають два вектори в сусідніх точках однакову довжину (хоча сама довжина при цьому не визначена!).

Ці правила він інтерпретував як рівняння Максвелла для електромагнітних потенціалів. Зміна довжини вектора визначається саме цими потенціалами (подібно як зміна її орієнтації задається кривизною простору, яка проявляється через гравітацію).

Вейль відправив рукопис своїй статті Ейнштейну і попросив рекомендувати її до публікації. Ейнштейн так і зробив, але зазначив, що якщо теорія Вейля вірна, то частоти оптичних спектрів повинні залежати від історії випромінювальних атомів, а це явно суперечить експерименту. Були висунуті й інші заперечення, що поставили хрест на вейлівському об’єднанні електрики і гравітації. Дивовижна за красою модель виявилася фізично неспроможною.

Однак пізніше стало ясно, що ідея калібрувальної інваріантності глибока і конструктивна, а Вейль помилився лише в її конкретному додатку. У 1920-ті роки це зрозуміли кілька фізиків, у тому числі Фріц Лондон — згодом один з авторів першої квантової теорії надпровідності (див.: Без жодного опору, «ПМ» № 8 «2011). У 1927 році він запропонував нову інтерпретацію теорії Вейля, яка зробила її частиною квантової фізики.

Проблема з гравітацією

Однак гравітація, з якої все починалося, в стандартну модель не входить.

За словами академіка Рубакова, гравітація має свою специфіку: «При квантуванні поля тяжіння виникають гравітони. Це теж бозони, але вже не векторні — їх спин дорівнює не одиниці, а двійці. Однак теорія гравітації знову-таки підпорядковується калібрувальній симетрії.

Відсікти все зайве

У калібрувальних теоріях існує дуже велика симетрія, яка неоднаково проявляє себе в різних точках простору і часу.

У пошуках великого   Історія

фізики пов’язана з постійним узагальненням і об’єднанням, здавалося б, досить далеких один від одного і ніяких не пов’язаних між собою явищ. Кожна стадія такої уніфікації являла собою значне досягнення теоретичної фізики, яке істотно полегшувало наше розуміння того, як влаштована природа

Тому при математичному описі симетрій такого типу з’являються параметри, які залежать від просторово-часових координат. І ось виявляється, що існування калібрувальних симетрій накладає досить сильні обмеження на властивості об’єктів, які ці теорії описують.

«Для прикладу візьмемо квантову електродинаміку, — пояснює академік Валерій Рубаков. — Електромагнітні взаємодії переносять частинки з одиничним спином — фотони. Спін фотона може бути орієнтований тільки в двох напрямках, уздовж або проти його руху. У першому випадку ми говоримо про праву поляризацію, у другому — про ліву. Але якщо будувати теорію фотонів чисто формально, ні про що не замислюючись, з’являться ще дві поляризації з нульовими проекціями спину на напрямок руху. Якщо таке допустити, теорія розсиплеться, втратить самоузгодженість.

А в теорії з правильно підібраною калібрувальною симетрією ця проблема не виникає, зайві поляризації звідти йдуть. Аналогічна ситуація має місце і в теорії глюонного поля, що переносить сильні взаємодії, і в теорії слабкої взаємодії, що переносить проміжні векторні бозони. Всі ці частинки мають одиничний спин, і у всіх виникають неприйнятні стани, які не зникають самі по собі, проте виганяються калібрувальною симетрією «.

Гравітон, подібно фотону, має лише дві поляризації, в той час як число математично можливих поляризацій у частинки зі спином 2 дорівнює п’яти. Калібрувальна симетрія гравітаційного поля дозволяє прибрати зайві поляризації і тим самим зробити теорію непротиворечивою.

Цю симетрію фактично знайшов ще Ейнштейн, хоча в ОТГ немає ніяких гравітонів. Але там є симетрія простору-часу щодо всіх гладких перетворень координат, а це і є калібрувальна симетрія. Втім, калібрувальні теорії дуже сильні, але все ж не всемогутні. Сьогоднішні теорії елементарних частинок дуже складно об’єднати з гравітацією, і в цьому їх очевидна слабкість. Всі спроби створити квантову теорію тяжіння поки не увінчалися успіхом. Так що наші нинішні калібрувальні моделі — це, звичайно, ще не вся правда.

Я думаю, що для об’єднаного опису всіх чотирьох фундаментальних взаємодій доведеться винайти нову теорію з ще більш широкою калібрувальною симетрією. Багато хто покладає надію на теорії суперструн, але, швидше за все, знадобиться щось ще ширше. Але я не сумніваюся, що в основі цієї майбутньої теорії виявляться якісь калібрувальні симетрії. Деякі її риси проглядаються вже зараз, але коли вона з’явиться і яку прийме форму, я передбачати не беруся «.

Вся сила у фазі

Ось як виглядає ідея Лондона в сучасному вираженні. Квантові об’єкти описуються комплексною (у математичному сенсі) хвильовою функцією. Виміряти її експериментально (як і електромагнітні потенціали!) неможливо.

Досвідченим шляхом можна виявити лише ймовірність значень фізичних величин, які визначаються квадратом модуля цієї хвильової функції. Тому її можна помножити на будь-яке комплексне число з одиничним модулем — ймовірність від цього не зміниться. Якщо записати таке число у вигляді експоненти з чисто уявним показником, то операція його множення на хвилеву функцію призведе до зміни її фази.

Якщо на квантову частку не діють ніякі сили, зміна фази не спричинить значущих наслідків. Рух зарядженої частинки в електромагнітному полі в нерелятивістському випадку описується рівнянням Шредінгера, яке при множенні на фазовий множник змінює свій вид і стає неінваріантним.

Цю перешкоду можна обійти, якщо одночасно змінити електромагнітні потенціали за допомогою того самого класичного перетворення, яке після робіт Вейля називається калібрувальним. Якщо записати показник експоненти у вигляді твору уявної одиниці на заряд частинки і скалярну функцію часу і координат, то ця функція якраз і буде задавати необхідне калібрувальне перетворення потенціалів.

Воно точно компенсує ті додаткові члени в рівнянні Шредінгера, які з’являються після зміни фази хвильової функції.

У чому фізичний сенс цієї начебто суто абстрактної математики? Стан частинки, чиї хвильові функції розрізняються лише фазовими множниками, з точки зору експерименту еквівалентний.

Якщо частинка заряджена і, отже, підпорядковується дії електромагнітного поля, можливість довільної зміни фазового множника забезпечується відповідною зміною електромагнітних потенціалів. Інваріантність рівняння руху частинки щодо вибору фази хвильової функції автоматично призводить до калібрувальної інваріантності польових рівнянь.

Якщо записати рівняння Шредінгера для зарядженої частинки без будь-яких електромагнітних потенціалів, знайти його рішення у вигляді хвильової функції і помножити її на фазовий множник, в рівнянні з’являться додавальні члени. Отже, воно повинно містити якісь компоненти, які своїми змінами скомпенсують ці добавки. Як такі компоненти якраз і виступають електромагнітні потенціали.

Виходить, що якщо хвильові функції, що розрізняються на довільний фазовий множник, описують один і той же стан зарядженої квантової частинки, то повинні існувати і електромагнітні поля, які підпорядковуються рівнянням Максвелла.

Таким чином, ми прийшли до дивовижного результату — фазова інваріантність породжує електромагнетизм! Цього ще немає у Лондона, хоча логіка його міркувань підводить до такого висновку. Вперше його чітко сформулював Вейль у статті «Електрон і гравітація», опублікованій 1929 року (хоча він використовував не рівняння Шредінгера, а діраківське рівняння для релятивістського електрону). Множення хвильової функції на фазовий множник у Вейля постає як нове калібрувальне перетворення, тісно пов’язане з перетворенням електромагнітних потенціалів.

Інструмент передбачень

Ідеї Вейля настільки привабили Вольфганга Паулі, що в 1933 році він переказав їх у статті «Хвильова механіка». У середині 1940-х років її прочитав молодий китайський фізик Янг Чженьнін, якого дуже зацікавив доказ зв’язку між фазовою інваріантністю і збереженням електричного заряду.

У 1953-1954 роках у Брукхейвенській національній лабораторії Чженьнін і аспірант Роберт Міллс застосували ці ідеї для аналізу ядерних сил. Їхня спільна стаття «Збереження ізотопічного спина і узагальнена калібрувальна інваріантність» відіграла величезну роль у розвитку теоретичної фізики.

Янг і Міллс першими показали, що на основі калібрувальної симетрії можна передбачати існування раніше невідомих фізичних полів і, як наслідок, ще не відкритих частинок (Паулі прийшов до схожих висновків за рік до Янга і Міллса, проте утримався від їх публікації). У 1960-1970-ті роки цей паросток дав рясний урожай у вигляді Стандартної моделі елементарних частинок.

«Всі фундаментальні взаємодії, за винятком гравітації, переносяться векторними частинками, — говорить професор МДУ і головний науковий співробітник Інституту ядерних досліджень РАН, автор монографії про калібрувальні поля академік Валерій Рубаков, — так вже влаштований світ. А при такому розкладі просто необхідно користуватися калібрувальними симетріями, інакше виходять суцільні патології.

Фізики йшли до розуміння цих речей дуже різними шляхами. Калібрувальна природа електромагнетизму відома ще з часів Вейля, більше 80 років. Об’єднана калібрувальна теорія слабких і електромагнітних взаємодій була розвинена Стівеном Вайнбергом і Абдусом Саламом у другій половині 1960-х років і остаточно допрацьована лише на початку 1970-х. А потім настала черга і внутрішньоядерних сил. Якраз тоді експериментатори показали, що на дуже малих дистанціях взаємодія між кварками не зростає, а слабшає.

Це явище назвали асимптотичною свободою, і спочатку воно не знаходило розумного пояснення. Однак троє фізиків-теоретиків — Девід Гросс, Френк Вільчек і Девід Політцер — незабаром показали, що в калібрувальних моделях глюонних полів асимптотична свобода виникає природним чином. Звідси було недалеко до об’єднання теорій електрослабих і сильних взаємодій в єдину теоретичну конструкцію, яку назвали Стандартною моделлю «.