Вимірювання кутів

Ріс. 1. Кут

У шкільній геометрії кут — це фігура, що складається з двох променів, що виходять з однієї точки (рис. 1). Ця точка називається вершиною кута, а промені — його сторонами. Кут розбиває площину на дві частини: на малюнку 2 вони пофарбовані в зелений і жовтий колір. Ці частини називаються плоскими кутами.

Виміряти кут можна звичайним транспортиром, який розмічений в градусах від 0 ° до 180 ° (рис. 3, зліва).

Ріс. 2 (ліворуч). Два плоских кути — зелений і жовтий. Рис, 3. Транспортири — напівколовий і круговий

Пласкі кути зручно вимірювати круговим транспортиром, розміченим від 0 ° до 360 ° (рис. 3, праворуч). Звичайно, для наукових і технічних вимірювань кутів потрібні більш точні прилади: наприклад, такі, як на малюнку 4. Ліворуч там зображено один з астрономічних інструментів Тихо Браге, з яким він проводив свої високоточні спостереження. Результати цих спостережень дозволили Кеплеру вивести закони руху планет. Праворуч — сучасний електронний теодоліт, який використовується в геодезії.

Рис, 4. Секстант Тихо Браге і сучасний теодоліт

А чи можна вимірювати кути, не застосовуючи взагалі ніяких інструментів?

«Ручний вимір» кутів. Про цей метод ми прочитали в книзі «Музика сфер. Математика і астрономія «, написаною Розою Марією Рос. Цитуємо:

… Існує дуже простий, хоча і не дуже точний, спосіб вимірювання кутів вручну. Якщо ми витягнемо руку перед собою, то розтопирена долоню буде вказувати інтервал у 20 °, кулак — 10 °, великий палець — 2 °, мізинець — 1 °. Цей спосіб можуть використовувати і дорослі, і діти, оскільки розміри долоні людини збільшуються пропорційно довжині його руки.

Пояснимо сказане. Нехай ми спостерігаємо за двома зірками, розташованими на небі недалеко один від одного. Напрямок погляду на кожну з них задає промінь. Кут між цими двома променями (з вершиною в оці спостерігача) ми і хочемо виміряти. Його величина називається кутовою відстанню між зірками. Витягнемо праву руку з розтопиреною долонею, як на малюнку 5 праворуч. Якщо кінчик великого пальця закриває одну зірку, а кінчик мізинця — іншу, кутову відстань між зірками можна оцінити в 20 °. Прикладаючи долоні один до одного, можна вимірювати кути до 40 ° (рис. 5, праворуч внизу).

Рис, 5. Ручний вимір кутів

Завдання 1. Зіркової ночі знайдіть на небі ковш Великої Ведмедиці (рис. 6) і «вручну» оцініть кутову відстань між зірками Мерак і Дубхе.

Рис. 6. Ковш Великої Ведмедиці

Нагадаємо: у напрямку Мерак ­ Дубхе розташована Полярна зірка, що вказує шлях на північ.

Завдання 2. Відшукайте на небі Полярну зірку і знайдіть кутову відстань між нею і зіркою Дубхе.

Вирішивши завдання, ви зможете перевірити себе, так як відомо, що відстань Дубхе — Полярна зірка приблизно в 5 разів більше відстані Мерак — Дубхе.

Звичайно, ручний вимір кутів не дозволяє домогтися хорошої точності. Зараз ми опишемо безпритульний метод вимірювання кутів, що дозволяє проводити вимірювання з наскільки завгодно високою точністю. Почнемо з декількох експериментів.

Рис, 7. Трикутник

Експерименти з трикутниками: «60°» ≠ 60°. Ми купили кілька однакових трикутників, як на малюнку 7. Кути цього трикутника за стандартом повинні дорівнювати 30 °, 60 ° і 90 °, але ми хочемо перевірити, чи так це насправді. Почнемо з середнього за величиною з цих кутів, позначивши його. Отже, чи вірно, що ^ = 60 °?

Рис, 8. Кожен трикутник виходить із сусіднього поворотом на кут порожній, див. відео

Експеримент № 1: повертаємо трикутники. Викладемо на площину один за одним шість трикутників, як на малюнку 8: кожен отриманий із сусіднього поворотом на кут.

Видно, що перший і останній трикутники не сумнівалися, і це означає, що в сумі шість однакових кутів порожніх дають менше 360 °, тобто 6^ < 360 ° і, значить, ^ < 60 °. Виходить, ми купили дефектні трикутники.

На малюнку 8 також видно, що в проміжок між першим і останнім трикутником ще один такий же трикутник ніяк не поміститься. Це вказує на те, що сім однакових кутів — понад 360 °, тобто 7.200> 360 °, звідки — > 360 °/7. Об’єднаємо отримані дві нерівності і запишемо їх у вигляді

( frac{360°}{7} < α < frac{360°}{6}.)

Рис. 9. Кожен трикутник виходить з сусіднього переворотом на 180 ° навколо їх загальної сторони, див. відео

Експеримент № 2: перевертаємо трикутники. На малюнку 9 представлений інший спосіб викладання трикутників. Кожен трикутник виходить із сусіднього переворотом навколо їх загальної сторони на 180 °. Цей спосіб дає таку ж оцінку вимірюваного кута, але він буде зручнішим для нас надалі.

Практична порада: щоб трикутники не зміщувалися при найменшому дотику, не укладайте їх на слизьку поверхню. На відео ми скористалися зворотною стороною килимка для ванної: вона зроблена з матеріалу, що не ковзає навіть по вологій гладкій підлозі ванної кімнати, і ідеально підходить для наших експериментів.

Зменшуємо кількість трикутників, збільшуємо точність вимірювання. Перше удосконалення: будемо використовувати єдиний екземпляр трикутника. Знову позначимо один з його кутів через порожній. Намалюємо на площині промінь і сумісним вершину кута з вершиною променя, а одну зі сторін кута направимо вздовж променя, як на малюнку 7. Перевернемо трикутник навколо іншого боку кута (не лежить на промені). Потім перевернемо трикутник навколо іншого боку кута, знову перевернемо і т. д., поки максимально не наблизимося до намальованого променя. Так ми визначимо максимальне k, для якого k^ < 360 ° і при цьому (k + 1) ^ > 360 °, тобто

( frac{360°}{k+1} < α < frac{360°}{k}.)

На відео показано новий процес вимірювання для вже знайомого трикутника з кутом, близьким до 60 °, де k вийшло рівним 6.

Наступна мета — максимально збільшити точність оцінки кута. Зрозуміло, що, роблячи наші перевороти трикутника, зовсім не обов’язково зупинятися перед початковим променем. Можна зробити ще один або навіть кілька повних обертів навколо початкової точки променя! Нехай n — загальна кількість зроблених обертів, k — експериментально отримане нами число, таке, що k^ < n· 360 ° і одночасно (k + 1) ^ > n· 360 °. Тоді виконується подвійна нерівність:

( frac{n·360°}{k+1} < α < frac{n·360°}{k}.)

Зі збільшенням n дробу, що стоять ліворуч і праворуч, зближуються, і кут порожній визначається все точніше — і без всяких приладів!

Як виглядає цей вимір для n = 3 і нашого трикутника, ви можете подивитися на відео, там k виявилося рівним 18. Ми провели вимірювання для n = 1, 2,…, 8 і для кожного n знайшли відповідне k. Результати див. у таблиці.

Судячи з останнього рядка, 57,6 ° < ^ < 58,8 °. Але можна поступити трохи хитріше і замінити значення 57,6 °, що стоїть над ним у сьомому рядку 58,6 °, отримавши набагато більш точну оцінку 58,6 ° < ^ < 58,8 °.

Про вимірювання пласких кутів. Все сказане про вимірювання кута трикутника застосовне і до вимірювання плоского кута, який можна уявляти собі вирізаним з дуже тонкого і жорсткого аркуша пластику (рис. 10). У зв’язку з цим завдання.

Рис, 10. Плаский кут

Завдання 3. На малюнку 10 представлений кут. Збільште зображення і за цим шаблоном з тонкого жорсткого аркуша пластику виріжте відповідний плаский кут. Використовуючи розібраний нами метод вимірювання, за допомогою переворотів оцініть величину цього кута. Тут вас чекає невеликий сюрприз. Кут на малюнку підібраний спеціальним чином. Існує таке невелике число n, що величина ^ укладається в n· 360 ° ціле число разів. Так що за допомогою нашого методу ви зможете визначити це n і знайти точне значення кута.

Завдання 4 (Г. Фельдман, Д. Баранов, XXXI Турнір міст). Намальовано кут, і ще є тільки циркуль.

1. Яке найменше число оточень треба провести, щоб напевно визначити, чи є даний кут гострим?
2. Як визначити, чи дорівнює цей кут 31 ° (дозволяється проводити скільки завгодно кола)?

У пункті б можна обійтися і без циркуля, якщо є дерев’яний вугільник з даним кутом, про який ми хочемо з’ясувати, чи дорівнює він 31 °.

І наостанок — невеликий список захоплюючих книг, в яких обговорюється вимірювання кутів в астрономії і геометрії, з невеликими анотаціями.

1. Роза Марія Рос. Музика сфер. Астрономія і математика (М.: Де Агостіні, 2014). У цій чудовій книзі розповідається про планети і зірки, про вимірювання кутів, космічних відстаней і часу.
2. Олександр Шень. Космографія (М.:МЦНМО, 2019). У книзі розбираються основні питання космографії: як рухаються зірки по небу, чому бувають зима і літо, чому Місяць видно у формі серпа, коли і як відбуваються затемнення. Прочитавши її, ви зрозумієте, що астрономія не може обійтися без вимірювання кутів.
3. Яків Перельман. Цікава геометрія на вільному повітрі і будинки, 7-й вид. (М.-Л.: ГІТТЛ, 1950). Обов’язково зверніть увагу на цю книгу. У третьому розділі розібрано багато завдань на вимірювання кутів підручними засобами і докладно розказано про найпростіші пристрої для вимірювання кутів, у тому числі про посох Якова і про грабельний вугломер.
   
   Особливо рекомендуємо розділ «Визначення величини даного кута без всяких вимірювань» (с. 138-140), де описаний метод вимірювання кутів, «запропонований в 1946 р. З.Рапейка з Каунаса «. Мабуть, цей розділ був доданий редактором сьомого видання книги Б. А. Кордемським. Сам Яків Перельман помер 1942 року в блокадному Ленінграді.
4. Олександр Шень. Геометрія в завданнях (М.:МЦНМВ, 2017). Другий розділ цієї книги називається «Вимірювання кутів». Там багато цікавих завдань, над якими варто подумати. Серед них ми виділимо завдання № 38.

Художник Марія Усеїнова