Арифметика аркуша паперу

Візьмемо звичайний аркуш білого паперу — того формату, який підходить для більшості принтерів і називається A4. На пачці паперу (або у Вікіпедії, або в налаштуваннях принтера) написано, що цей аркуш має довжину 297 міліметрів, а ширину — 210. Звідки взялися такі дивні числа? І звідки в назві формату четвірка?

Давайте розберемося в усьому цьому по порядку. Виявляється, бувають і інші формати паперу, в назві яких є буква А, — від A0 до A6. Аркуш кожного наступного формату виходить як половина аркуша попереднього формату. Наприклад, аркуш A5 виходить, якщо скласти аркуш A4 навпіл. І навпаки, якщо склеїти два аркуші A4 вздовж довгого боку, вийде аркуш A3 (деякі великі принтери вміють друкувати на таких аркушах). Якщо додати один до одного два аркуші A3, ми отримаємо аркуш A2 — на папері такого формату зазвичай друкуються газети. З двох аркушів A2 виходить аркуш A1, а з двох аркушів A1 — аркуш A0. Можливо, вам доводилося бачити щільний чортовий папір — так звані ватманські листи; вони якраз мають формат A0, і тим самим кожен такий аркуш можна розрізати на 16 аркушів формату A4, розділивши його по вертикалі і горизонталі на 4 рівні частини.

У всіх цих аркушів є одна чудова властивість: вони являють собою подібні прямокутники. Іншими словами, відношення довжини до ширини у кожного з цих аркушів одне й те саме. За рахунок цього дві сторінки формату A4 можна вмістити на одну, зменшивши довжину і ширину в одну і ту ж кількість разів і перевівши вихідні сторінки в формат A5 (у налаштуваннях більшості принтерів можна вказати параметр «друкувати дві сторінки на одній». Це буває дуже зручно, якщо вам потрібно роздрукувати великий текст і хочеться заощадити папір або чорнило). Звідси можна знайти відношення сторін, якщо написати просту пропорцію:

довжина A4 ширина A4 = довжина A5 ширина A5

і при цьому пам’ятати, що довжина аркуша A5 така ж, як ширина у A4, а ширина A5 дорівнює половині довжини A4.

Звідси виходить, що

довжина A4 2 ширина A4 2 = 2,

тобто відношення сторін аркуша A4 (а значить, і аркушів всіх інших форматів від A0 до A6) має дорівнювати кореню з двох — приблизно 1, 414213562…

Корінь з двох — число ірраціональне, тобто не рівне відношенню ніяких двох цілих чисел. А для технологічних цілей довжини сторін у аркушів паперу хочеться все-таки виражати цілим числом міліметрів. Тому в якості формату прийнято відношення 297/210, що дорівнює 99/70 = 1,4142857… Як ми бачимо, цей дріб дуже близький до 2 — ці числа розходяться тільки в п’ятому знаку після коми і розрізняються лише на п’ять тисячних відсотків!

Отже, зі ставленням сторін ми розібралися. Але чому ж ширина аркуша дорівнює саме 210 міліметрам, а, скажімо, не 200 і не 220? Виявляється, що довжини сторін були обрані саме такими для того, щоб аркуш формату A0 (найбільший у цій серії форматів) мав площу, що дорівнює одному квадратному метру. Згідно з міжнародним стандартом ISO 216, довжина і ширина аркуша A0 дорівнює 1189 мм і 841 мм відповідно. У квадратному метрі мільйон квадратних міліметрів, а витвір 841 і 1189 дає 999 949, що дуже близько до мільйона.

Співвідношення довжини і ширини паперового листа, рівне кореню з двох, було запропоновано ще в 1786 році німецьким вченим Георгом Крістофом Ліхтенбергом і стало вперше застосовуватися у Франції в кінці XVIII століття. Зараз воно поширене по всьому світу, крім США і Канади, де прийнято використовувати папір так званого формату Letter, зі співвідношенням сторін 8,5 ­ 11 дюймів — приблизно 216 ст.1 279 мм. Такий аркуш трошки ширше і коротше звичного нам аркуша A4. Але звідки взялося саме таке співвідношення, автору невідомо…

Завдання

Вигадайте прямокутний паралелепіпед, який можна розділити навпіл на два подібних йому паралелепіпеда (з таким же співвідношенням трьох сторін). (До речі, якщо робити такі посилочні коробки, то їх легко буде щільно розміщувати в поштовому вагоні, замінюючи, при необхідності, велику коробку двома поменше.)

Олександр Борун

Рішення

Будемо шукати прямокутний паралелепіпед зі сторонами a > b > c. Після поділу навпіл ми отримаємо паралелепіпед, подібний до вихідного, а значить, у нас і максимальна сторона зменшиться, і середня, і менша. Тому ми ділили навпіл більшу сторону і отримали паралелепіпед зі сторонами b > c > a 2.

Складемо пропорцію a: b = b : c = c : a 2 = k . Перемноживши три стосунки, отримуємо k 3 = 2, звідки k = 2 3 ^ 1,26. Прийнявши меншу сторону за 1, отримаємо паралелепіпед зі сторонами 2 3 2, 2 3, 1.

Художник Артем Костюкевич